12919. Точка D
— середина стороны BC
остроугольного треугольника ABC
, I
— центр вписанной окружности треугольника ABD
, а E
— точка пересечения отрезка AD
с окружностью, построенной на стороне BC
как на диаметре. Докажите, что точки A
, B
, E
и I
лежат на одной окружности.
Решение. Точка E
лежит на окружности с центром D
и радиусом BD
, поэтому DE=BD
, а так как DI
— биссектриса угла ADB
треугольника ADB
, то \angle BDI=\angle EDI
. Значит, треугольники IBD
и IED
с общей стороной DI
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \angle DBI=\angle DEI
. Кроме того, BI
— биссектриса угла ABD
, поэтому
\angle ABI=\angle DBI=\angle DEI=180^{\circ}-\angle AEI.
Значит, четырёхугольник ABIE
вписанный. Следовательно, точки A
, B
, E
и I
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 5, задача MA147, с. 247