12920. Через данную точку A
проведите прямую, отрезок которой с концами: а) на данных прямой и окружности; б) на двух данный окружностях делился точкой A
пополам.
Решение. а) Пусть m
— данная прямая, S
— данная окружность. Предположим, что прямая, проходящая через точку A
, пересекает прямую m
в точке C
, а окружность S
— в точке D
, причём AC=AD
. Тогда при симметрии относительно точки A
точка C
перейдёт в D
, а прямая m
— в прямую m'
, параллельную m
и проходящую через точку D
.
Отсюда вытекает следующее построение. Проводим прямую m'
, симметричную данной прямой m
относительно данной точки A
. Если D
— общая точка прямой m'
и данной окружности S
, то прямая DA
пересекает данную прямую m
в точке C
, причём очевидно, что A
— середина отрезка CD
.
Задача имеет либо два решения (если прямая m'
пересекает окружность S
в двух точках), либо одно (если прямая m'
касается окружности S
), либо ни одного (если прямая m'
и окружность S
не имеют ни одной общей точки).
б) Аналогично а).