12921. Через точку, делящую медиану, проведённую из вершины A
треугольника ABC
в отношении 1:2
, считая от точки A
, проведена прямая, параллельная стороне BC
. Аналогично, проводятся прямые, параллельные сторонам AC
и AB
. Докажите, что эти три прямые пересекаются в вершинах треугольника, равного треугольнику ABC
.
Указание. Если прямые m'
и n'
симметричны относительно точки O
прямым соответственно m
и n
, пересекающимся в точке T
, то точка T'
пересечения прямых m'
и n'
симметрична точке T
относительно O
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а A_{2}
— точка на отрезке AA_{1}
, для которой AA_{2}:A_{2}A_{1}=1:2
. Поскольку точка M
делит медиану в отношении 2:1
, считая от вершины A
, то M
— середина A_{1}A_{2}
. Значит, при симметрии относительно точки M
, прямая BC
перейдёт в прямую, проходящую через точку A_{2}
параллельно BC
, т. е. в прямую, о которой говорится в условии. Аналогично для двух других таких прямых. Тогда треугольник с вершинами в точках пересечения этих прямых центрально симметричен треугольнику ABC
, а следовательно, равен ему. Что и требовалось доказать
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.04, с. 162