12926. Продолжения боковых сторон
AD
и
BC
равнобедренной трапеции
ABCD
пересекаются в точке
S
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников
ASC
и
BSD
, пересекаются в центре окружности, описанной около трапеции.
Решение. Пусть
M
— отличная от
S
точка пересечения описанных окружностей треугольников
ASC
и
BSD
. Эти окружности равны, поэтому прямая
SM
— их ось симметрии, а также ось симметрии трапеции. Значит, на ней лежит центр окружности, описанной около трапеции. Тогда
\angle ASM=\angle BSM~\Rightarrow~\smile AM=\smile MC~\Rightarrow~AM=MC.

Кроме того, из симметрии
MA=MB
и
MD=MC
. Значит, точка
M
равноудалена от всех вершин трапеции. Следовательно,
M
— центр описанной около неё окружности.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 2, с. 166