12927. Даны две концентрические окружности. Через две точки этих окружностей, лежащие на одной прямой с их общим центром, проведена произвольная окружность. Докажите, что две другие точки пересечения её с данными окружностями тоже лежат на одной прямой с общим центром двух данных.
Решение. Пусть O
— общий центр данных окружностей, точки A
и B
лежат соответственно на большей и меньшей из них, а A'
и B'
— вторые точки пересечения окружности S
с центром O_{1}
, проходящей через A
и B
и лежащие соответственно на большей и меньшей из данных окружностей.
Каждая из двух пересекающиеся окружностей симметрична относительно их линии центров, поэтому при симметрии относительно прямой OO_{1}
точка A
пересечения большей окружности с окружностью S
перейдёт в точку A'
— вторую точку пересечения этих окружностей. Аналогично, точка B
перейдёт в B'
. При этом точка O
, лежащая на оси симметрии останется на месте. Следовательно, точки A'
, B'
и O
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.