12930. Постройте параллелограмм ABCD
по двум заданным вершинам A
и B
, если две другие вершины принадлежат данной окружности.
Решение. Пусть \omega
— данная окружность, A
и B
— данные точки. Задача сводится к построению одной из точек C
или D
.
Предположим, что нужный параллелограмм ABCD
построен. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
вершина D
переходит в C
. Если окружность \omega_{1}
есть образ окружности \omega
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
, то точка C
лежит на окружности \omega_{1}
, поскольку точка D
лежит на \omega
. Таким образом, точка C
есть точка пересечения окружностей \omega
и \omega_{1}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образ \omega_{1}
данной окружности \omega
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
. Тогда искомая вершина C
— точка пересечения окружностей \omega
и \omega_{1}
, а искомая вершина D
— прообраз точки C
при этом переносе.
Число решений совпадает с числом точек пересечения окружностей \omega
и \omega_{1}
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 3, с. 171