12934. Треугольник A_{1}B_{1}C
симметричен треугольнику ABC
относительно биссектрисы его прямого угла при вершине C
. Докажите, что медиана CM
треугольника ABC
перпендикулярна прямой A_{1}B_{1}
.
Решение. Рассмотрим поворот на 90^{\circ}
, переводящий точку B_{1}
в B
. При этом повороте, точка B
переходит в точку B_{2}
, лежащую на продолжении катета AC
за точку C
, точка A
— в точку A_{1}
прямой BC
, отрезок AB
— в отрезок B_{2}A_{1}
, а медиана CM
треугольника ABC
— в медиану CM_{1}
треугольника A_{1}B_{2}C
.
Отрезок CM_{1}
— средняя линия треугольника A_{1}B_{1}B_{2}
, поэтому CM_{1}\parallel A_{1}B_{1}
, а так как CM\perp CM_{1}
, то CM\perp A_{1}B_{1}
. Что и требовалось доказать.