12938. Докажите, что точки пересечения диагоналей правильного пятиугольника служат вершинами также правильного пятиугольника.
Решение. При повороте вокруг центра на угол \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}
правильный пятиугольник переходит в себя (см. задачу 6001). При этом диагональ d_{1}
переходит — в соседнюю с ней диагональ d_{2}
, диагональ d_{2}
— в соседнюю с ней диагональ d_{3}
и т. д., а точка пересечения d_{1}
и d_{2}
— в точку пересечения d_{2}
и d_{3}
и т. д. Таким образом, пятиугольник с вершинами в точках пересечения соседних диагоналей исходного правильного пятиугольника переходит при этом повороте сам в себя. Следовательно (см. задачу 6001), это тоже правильный пятиугольник.