12939. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
вне его построены квадраты ABDE
и ACPQ
. Докажите, что:
а) медиана AK
треугольника ABC
перпендикулярна прямой EQ
и AK=\frac{1}{2}EQ
;
б) медиана AM
треугольника AQE
перпендикулярна прямой BC
и AM=\frac{1}{2}BC
.
Решение. а) Рассмотрим поворот на 90^{\circ}
вокруг точки A
, переводящий точку B
в E
. При этом точка C
перейдёт в некоторую точку C_{1}
, а медиана AK
треугольника ABC
— в медиану AK_{1}
равного ему треугольника AC_{1}E
. Поскольку AQ\perp AC
и AC_{1}\perp AC
, точки Q
, A
и C
лежат на одной прямой, причём A
— середина QC_{1}
. Значит, AM
— средняя линия треугольника C_{1}EQ
, поэтому AM=\frac{1}{2}C_{1}E=\frac{1}{2}BC
и AM\parallel C_{1}E
, а так как прямая C_{1}E
— образ прямой CB
при повороте на 90^{\circ}
, то C_{1}E\perp BC
. Следовательно, AM\perp BC
.
б) Решение точно такое же как в первом пункте: просто треугольники ABC
и AQE
поменяются местами.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.89, с. 180