12940. Правильный семиугольник ABCDEFG
вписан в окружность \Omega
. На продолжении диагонали GD
за точку D
отложен отрезок DH=DC
. Отрезок BH
пересекает окружность \Omega
в точке I
. Докажите, что I
— середина этого отрезка.
Решение. Пусть радиус окружности \Omega
равен 1. Введём систему координат xOy
с началом в центре O
окружности, направив ось Oy
по лучу OE
, а ось Ox
— по перпендикулярному ему лучу, лежащему с вершиной C
по одну сторону от прямой OE
. Достаточно доказать, что точка I
лежит на окружности x^{2}+y^{2}=1
, т. е. её координаты точки удовлетворяют этому уравнению.
Заметим, что ордината точки H
равна ординате точки E
, т. е. 1, а так как точка D
— вершина равнобедренного треугольника EDH
, то абсцисса точки H
вдвое больше абсциссы точки D
, а значит, равна
2OD\cos\left(\frac{\pi}{2}-\angle DOE\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{7}\right)=2\cos\frac{3\pi}{14}.
Абсцисса точки B
равна
OB\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\angle AOB\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right)=\cos\frac{5\pi}{14},
а ордината точки B
равна -\sin\frac{5\pi}{14}
.
Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов, поэтому абсцисса точки I
равна
\frac{2\cos\frac{3\pi}{14}+\frac{\cos5\pi}{14}}{2},
а ордината равна
\frac{1-\sin\frac{5\pi}{14}}{2}.
Следовательно,
\left(\frac{2\cos\frac{3\pi}{14}+\frac{\cos5\pi}{14}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1-\sin\frac{5\pi}{14}}{2}\right)^{2}=
=\frac{1}{4}\left(\left(2\cos\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{5\pi}{14}\right)^{2}+\left(1-\sin\frac{5\pi}{14}\right)\right)=
=\frac{1}{4}\left(4\cos^{2}\frac{3\pi}{14}+4\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}+\cos^{2}\frac{5\pi}{14}+1-2\sin\frac{5\pi}{14}+\sin^{2}\frac{5\pi}{14}\right)=
=\frac{1}{4}\left(2+4\cos^{2}\frac{3\pi}{14}+4\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}-2\sin\frac{5\pi}{14}\right)=
=\frac{1}{2}\left(1+2\cos^{2}\frac{3\pi}{14}+2\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}-\sin\frac{5\pi}{14}\right)=
=\frac{1}{2}\left(1-\cos\frac{\pi}{7}+2\cos^{2}\frac{3\pi}{14}+2\cos\frac{3\pi}{14}\cos\frac{5\pi}{14}-\sin\frac{5\pi}{14}\right)=
=\frac{1}{2}\left(1-\cos\frac{\pi}{7}+2\cos^{2}\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{\pi}{7}\right)=
=\frac{1}{2}\left(1+2\cos^{2}\frac{3\pi}{14}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)=\frac{1}{2}\left(1+1+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}\right)=
=\frac{1}{2}\left(2+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{7}\right)\right)=\frac{1}{2}(2+0)=1.
Что и требовалось доказать.