12941. Даны две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Через точку пересечения окружностей проведена прямая, пересекающая их вторично в точках M
и N
. Докажите, что угол между касательными к окружностям в точках M
и N
равен 60^{\circ}
.
Решение. Окружности, очевидно, равны. Пусть O
и O_{1}
— центры окружностей, на которых лежат точки M
и N
соответственно, а окружности пересекаются в точках P
и Q
, причём точка Q
лежит на прямой MN
. Треугольники OPO_{1}
и OQO_{1}
равносторонние.
Первый способ. Рассмотрим поворот на угол 60^{\circ}
вокруг точки P
, переводящий точку O
в O_{1}
. При этом окружность с центром O
перейдёт в окружность с центром O_{1}
, а точка M
— в точку N
(см. задачу 12935). Значит, касательная в точке M
к первой окружности перейдёт в касательную в точке N
ко второй. Следовательно, угол между этими касательными равен 60^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть касательные пересекаются в точке A
. Обозначим \angle AMN=\alpha
, \angle ANM=\beta
. Проведём диаметры QB
и QC
первой и второй окружностей соответственно. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle QBM=\alpha,~\angle QCN=\beta,
а так как треугольники QBM
и QCN
прямоугольные с прямыми углами при вершинах M
и N
, то
\angle BQM=90^{\circ}-\alpha,~\angle CQN=90^{\circ}-\beta.
Тогда
180^{\circ}=\angle BQM+\angle OQO_{1}+\angle CQN=(90^{\circ}-\alpha)+60^{\circ}+(90^{\circ}-\beta)=240^{\circ}-(\alpha+\beta),
откуда \alpha+\beta=60^{\circ}
. Значит,
\angle MAN=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=120^{\circ}.
Следовательно, угол между указанными касательными равен 60^{\circ}
(по определению угол между прямыми не может быть больше 90^{\circ}
).