12942. Постройте правильный шестиугольник по его центру и точкам A
и B
, которые лежат на прямых, содержащих его смежные стороны.
Решение. Пусть нужный правильный шестиугольник A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}
с заданным центром O
построен, причём заданные точки A
и B
лежат на прямых, содержащих его стороны соответственно A_{1}A_{2}
и A_{2}A_{3}
. При повороте на угол 60^{\circ}
вокруг точки O
, переводящем вершину A_{1}
в A_{2}
, прямая A_{1}A_{2}
, содержащая точку A
, переходит в прямую A_{2}A_{3}
, содержащую точку B
. При этом точка A
переходит в точку A'
прямой A_{2}A_{3}
, содержащей заданную точку B
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ заданной точки A
при повороте на 60^{\circ}
вокруг заданной точки O
и проводим прямую A'B
. На ней лежит вершина искомого шестиугольника. Через точку A
проводим луч под углом 120^{\circ}
к построенной прямой. Его пересечение с построенной прямой — вершина искомого шестиугольника. Аналогично строим прямую, содержащую сторону шестиугольника, проходящую через точку B
. Построенные прямые пересекаются в искомой вершине шестиугольника. Теперь построение остальных его вершин очевидно.
Если образ точки A
при рассматриваемом повороте не совпадает с точкой B
, задача имеет единственное решение.