12944. Точки M
и P
лежат на стороне CD
квадрата ABCD
, а точка N
— на стороне BC
, причём DM=MC
, NB=3NC
и PN\perp AN
. Точка K
— середина отрезка MN
. Докажите, что \angle PAM=\angle KAN
.
Решение. Пусть сторона квадрата ABCD
равна 4. Тогда
AN^{2}=AB^{2}+BN^{2}=4^{2}+3^{2}=5^{2},
AM^{2}+MN^{2}=(4^{2}+2^{2})+(4^{2}+1^{2})=25=5^{2},
поэтому
AM^{2}+MN^{2}=AN^{2}.
Значит, треугольник AMN
прямоугольный с прямым углом при вершине M
.
Первый способ. Пусть E
— середина гипотенузы AN
прямоугольного треугольника AMN
. Тогда окружность \Gamma
с центром E
и радиусом EN
— описанная окружность треугольника AMN
.
Отрезок EM
— средняя линия прямоугольной трапеции ADCN
, поэтому EM\perp CD
. Значит, PM
— касательная к окружности \Gamma
, а так как PN\perp EN
, то PN
— тоже касательная к \Gamma
. Следовательно (см. задачу 10499), AP
— симедиана треугольника AMN
, и поэтому \angle PAM=\angle KAN
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку
\angle PAM=\angle KAM-\angle KAP~\mbox{и}~\angle NAK=\angle NAP-\angle KAP,
то достаточно доказать, что \angle KAM=\angle NAP
.
Из точек D
и N
отрезок AP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AP
. Тогда
\angle NAP=\angle NDP=\angle NDC.
Поскольку
MK=\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{5}}{2}~\mbox{и}~MA=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
получаем
\frac{MK}{MA}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{4}=\frac{CN}{CD}.
Значит, прямоугольные треугольники AMK
и DCN
подобны. Тогда
\angle KAM=\angle NDC=\angle NAP.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2022, № 4, задача 4688, с. 238