12946. Расстояния от точки M
до вершин треугольника ABC
равны соответственно 1, 2 и 3, а от точки M_{1}
— соответственно 3, \sqrt{15}
и 5. Докажите, что прямая MM_{1}
проходит через центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Указание. См. задачу 12945.
Решение. Заметим, что точки M
и M_{1}
принадлежат множеству точек, для которых
5MA^{2}-8MB^{2}+3MC^{2}=0,
т. е. прямой (см. задачу 12945). Этому же множеству принадлежит и точка, удалённая от точек A
, B
и C
на равные расстояния 1, 1 и 1, т. е. центр описанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.