12948. На каждой стороне треугольника взято по две точки таким образом, что все шесть отрезков, соединяющих каждую из этих точек с противоположной вершиной, равны между собой. Докажите, что середины этих шести отрезков лежат на одной окружности.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольника. Докажем, что центр искомой окружности совпадает с ортоцентром H
треугольника, т. е. что середины всех шести таких отрезков равноудалены от точки H
.
Пусть M
— середина высоты BD
, K
и L
середины двух из шести отрезков с общим концом B
. Обозначим BK=BL=l
. Тогда
LH^{2}=KH^{2}=KM^{2}+MH^{2}=(BK^{2}-BM^{2})+MH^{2}=
=\left(l^{2}-\frac{1}{4}BD^{2}\right)+\left(BH-\frac{1}{2}BD\right)^{2}=
=l^{2}+BH^{2}-BH\cdot BD=l^{2}-BH(BD-BH)=BH\cdot HD.
Значит, осталось доказать, что произведение отрезков, на которые ортоцентр разбивает высоту, для данного треугольника постоянно.
Пусть AE
— вторая высота треугольника ABC
. Из точек D
и E
отрезок AB
виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. По теореме о произведениях пересекающихся хорд BH\cdot HD=AH\cdot HE
. Аналогично для отрезков третьей высоты.
Отсюда следует утверждение задачи.