1295. Пусть внутри некоторого круга заданы две точки A
и B
. Для какой из точек C
, расположенных на окружности, угол ACB
принимает наибольшее значение?
Решение. Лемма. Если две окружности пересекаются в точках A
и B
, то из центра окружности меньшего радиуса отрезок AB
виден углом, большим, чем из центра окружности большего радиуса.
Доказательство. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей меньшего и большего радиусов соответственно, причём O_{1}
и O_{2}
лежат по разные стороны от прямой AB
. В треугольнике O_{1}AO_{2}
против меньшей стороны лежит лежит меньший угол, поэтому
\angle AO_{2}B=2\angle AO_{2}O_{1}\lt2\angle AO_{1}O_{2}=\angle AO_{1}B.
Если же O_{1}
и O_{2}
расположены по одну сторону от прямой AB
, то, применяя теорему о внешнем угле треугольника, получим, что
\angle AO_{1}B\gt2\angle AO_{2}O_{1}=\angle AO_{2}B.
Лемма доказана.
Построим на отрезке AB
как на хорде, две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
, касающиеся данной. Предположим, что их радиусы различны. Пусть меньшая из них (с центром O_{1}
) касается данной окружности в точке C
. Докажем, что C
— искомая точка.
Предположим, что точка X
лежит на данной окружности, причём X
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
. Поскольку точка X
лежит вне меньшей окружности, \angle AXB\lt\angle ACB
.
Если же точки X
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
, то точка X
лежит вне большей из построенных окружностей (или на ней). По лемме \angle AO_{2}B\lt\angle AO_{1}B
. Следовательно,
\angle AXB\le\frac{1}{2}\angle AO_{2}B\lt\frac{1}{2}\angle AO_{1}B=\angle ACB.
Что и требовалось доказать.
Если построенные окружности равны, то условию задачи удовлетворяет каждая из двух точек касания.