12952. Точки E
и F
лежат на сторонах соответственно CD
и AD
прямоугольника ABCD
. Прямая, проходящая через точку E
перпендикулярно прямой BF
, пересекает прямую BC
в точке P
, а прямая, проходящая через точку A
перпендикулярно прямой BE
, пересекает прямую AB
в точке Q
. Докажите, что точки P
, D
и Q
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку AB\perp CP
и BF\perp PE
, то \angle ABF=\angle CPE
. Значит, прямоугольные треугольники ABF
и CPE
подобны.
Поскольку AQ\perp CB
и QF\perp BE
, то \angle AQF=\angle CBE
. Значит, прямоугольные треугольники AQF
и CBE
подобны.
Обозначим \angle CDP=\alpha
и \angle ADQ=\beta
. Достаточно доказать, что \alpha+\beta=90^{\circ}
, или \tg\alpha=\ctg\beta
.
Из прямоугольных треугольников DCP
, QAD
и установленного подобия получаем
\tg\alpha=\frac{CP}{CD}=\frac{CP}{AB}=\frac{CE}{AF}=\frac{BC}{AQ}=\frac{AD}{AQ}=\ctg\beta.
Что и требовалось доказать.