12956. На полуокружности отмечены точки B
и C
, причём длина хорды BC
постоянна. На диаметре PQ
полуокружности отмечена точка A
, причём \angle PAB=\angle QAC
. Докажите, что величина угла BAC
не зависит от положения хорды BC
на полуокружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точки P
, B
, C
и Q
расположены на полуокружности в указанном порядке).
Пусть хорды PC
и BQ
пересекаются в точке X
, описанная окружность \omega_{1}
треугольника PBX
вторично пересекает диаметр PQ
в точке A_{1}
, а описанная окружность \omega_{1}
треугольника QCX
вторично пересекает диаметр PQ
в точке A_{2}
. Поскольку
\angle XBP=\angle QBP=90^{\circ},
отрезок PX
— диаметр окружности \omega_{1}
, поэтому \angle XA_{1}P=90^{\circ}
. Аналогично, \angle XA_{2}Q=90^{\circ}
. Из единственности перпендикуляра из точки X
на прямую PQ
следует, точки A_{1}
и A_{2}
совпадают, а так как
\angle BA_{1}P=\angle BXP=\angle CXQ=\angle CA_{2}Q,
то эти точки совпадают с точкой A
. Действительно, если A'
— ещё одна точка (лежащая, например, на отрезке AP
), для которой \angle BA'P=\angle CA'Q
, то
\angle BA'P\gt\angle BAP=\angle CAQ\gt\angle CA'Q,
что невозможно (аналогично для точки A'
, лежащей на отрезке AQ
). Таким образом,
\angle BAC=\angle BAX+\angle XAC=\angle BPC+\angle BQC.
По теореме синусов
BC=PQ\sin\angle BPC=PQ\sin\angle BQC,
а так как \angle BPC=\angle BQC
, то длина хорды BC
зависит только от длины хорды BC
и не зависит от положения точек B
и C
на полуокружности. Что и требовалось доказать.