12957. Одна вершина прямоугольника находится в данной точке, две другие, не принадлежащие одной стороне, — на двух заданных перпендикулярных прямых. Найдите геометрическое место точек четвёртых вершин таких прямоугольников.
Ответ. Если данная точка A
отлична от точки O
пересечения данных прямых, то искомое ГМТ — прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно AO
; если точка A
совпадает с O
, то искомое ГМТ состоит из всех точек плоскости, за исключением точек данных прямых.
Решение. Пусть заданные прямые b
и d
пересекаются под прямым углом в точке O
, а A
— данная вершина прямоугольника ABCD
, причём вершины B
и D
лежат на прямых b
и d
соответственно. Требуется найти геометрическое место вершин C
.
Если точка A
отлична от O
, то из точек A
, B
, C
, D
и O
отрезок AC
виден под прямым углом. Значит, все эти пять точек лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle COA=90^{\circ}
. Следовательно, каждая точка C
лежит на прямой, проходящей через точку O
перпендикулярно AO
.
Пусть C
— произвольная точка этой прямой. Тогда вершины B
и D
прямоугольника ABCD
— это точки пересечения описанной окружности прямоугольного треугольника AOC
с прямыми b
и d
соответственно.
Если точка A
совпадает с O
, то искомое ГМТ состоит из всех точек плоскости, за исключением точек прямых b
и d
.