12963. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
, в которой AC=CD
. Через середину AD
проведена прямая, пересекающая прямые AB
и BD
соответственно в точках K
и M
. Докажите, что угол между прямыми AC
и CK
равен углу между прямыми DC
и CM
,
Решение. Пусть P
— середина AD
, а E
и F
точки пересечения прямой AD
с прямыми CK
и CM
соответственно. Через точку A
параллельно BD
проведём прямую. Пусть она пересекает прямую KM
в точке T
. Из того, что P
— середина AD
следует, что AT=MD
. Из подобия соответствующих треугольников получаем равенства
\frac{AE}{BC}=\frac{AK}{KB}=\frac{AT}{BM}=\frac{MD}{DM}=\frac{FD}{BC}.
Значит, AE=FD
, а так как P
— общая середина отрезков AD
и EF
, то CP
— как биссектриса угла между прямыми AC
и CD
, так и угла между прямыми CK
и CM
. Следовательно, равны углы между прямыми AC
и CK
и между прямыми DC
и CM
. Что и требовалось доказать.