12965. Две окружности касаются внешним образом. Прямая пересекает их в точках M
, N
, P
, Q
, расположенных последовательно. Докажите, что из точки касания отрезки MQ
и NP
видны под углами, сумма которых равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на окружности S_{1}
, точки P
и Q
— на окружности S_{2}
, и при гомотетии с центром в точке A
касания окружностей, переводящей окружность S_{1}
в S_{2}
, точка M
переходит в M'
, а точка N
— в N'
.
Проведём через точку A
общую касательную этих окружностей. Пусть она пересекает прямую MQ
в точке B
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle NAB=\frac{1}{2}\smile AN,~\angle PAB=\frac{1}{2}\smile AP,
\angle NAP=\frac{1}{2}(\smile AN+\smile AP)=\frac{1}{2}(\smile AN'+\smile AP)=\frac{1}{2}\smile N'P.
При гомотетии хорда MN
окружности S_{1}
переходит в параллельную ей хорду M'N'
окружности S_{2}
, поэтому равны угловые величины дуг AN'
и QM'
окружности S_{2}
. Значит,
\angle MAQ+\angle NAP=\angle MAN+\angle PAQ+2\angle NAP=
=\frac{1}{2}\smile MN+\frac{1}{2}\smile PQ+2\cdot\frac{1}{2}\smile N'P=\frac{1}{2}(\smile MN+\smile PQ+2\smile N'P)=
=\frac{1}{2}(\smile M'N'+\smile PQ+2\smile N'P)=\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.