12966. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников, вписанных в данную окружность.
Ответ. Внутренняя часть круга, ограниченного данной окружностью.
Решение. Пусть M
— произвольная точка, лежащая внутри данной окружности с центром O
. Тогда для каждой точки A
этой окружности существуют две другие точки B
и C
этой окружности, для которых M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Действительно, на продолжении отрезка AM
за точку M
отложим отрезок MA_{1}=\frac{1}{2}AM
, затем через точку C_{1}
проведём хорду BC
, перпендикулярную OA_{1}
. На этой прямой окружность высекает хорду BC
, для которой точка C_{1}
— середина (см. задачу 1676). Точка M
лежит на медиане AA_{1}
треугольника ABC
, следовательно, нашёлся вписанный в данную окружность треугольник, для которого M
— точка пересечения медиан.
Поскольку точка пересечения медиан лежит внутри его описанной окружности, очевидно, для других точек такой треугольник не существует.