12968. В треугольнике ABC
биссектриса угла C
перпендикулярна медиане, проведённой из вершины B
. Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходящей через точки A
, C
и центр описанной окружности. Найдите AB
, если BC=1
.
Ответ. \frac{1+\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть BM
— медиана треугольника ABC
, I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей. В треугольнике BCM
биссектриса, проведённая из вершины C
, является высотой, поэтому этот треугольник равнобедренный с основанием BM
. Значит,
AC=2CM=2BC=2.
Точка I
лежит на окружности, проходящей через точки A
, C
и O
, поэтому
\angle B=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AIC=\frac{1}{2}\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B\right)
(см. задачу 4770), откуда \angle B=60^{\circ}
.
Обозначим AB=x
. По теореме косинусов
AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2BC\cdot AB\cos60^{\circ},~\mbox{или}~4=1+x^{2}-x,
откуда находим, что
AB=x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}.