12969. В треугольнике ABC
проведена медиана AM
. Известно, что \angle BAM=15^{\circ}
и \angle AMC=45^{\circ}
. Найдите остальные углы треугольника ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
, 105^{\circ}
.
Указание. На стороне AB
отметьте точку K
, для которой \angle AMK=\angle MAK=15^{\circ}
.
Решение. От луча MA
в полуплоскость, содержащую вершину B
, отложим угол AMK
, равный 15^{\circ}
(точка K
на отрезке AB
). По теореме о внешнем угле треугольника находим, что
\angle ABM=30^{\circ},~\angle BKM=30^{\circ}.
Треугольники AKM
и BKM
равнобедренные с основаниями AM
и BK
, поэтому
CM=MB=BK=AK.
В треугольнике BKC
медиана KM
равна половине стороны BC
, значит,
\angle AKC=\angle BKC=90^{\circ}.
Поскольку
\angle CKM=\angle BKC-\angle BKM=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},
то равнобедренный треугольник CMK
— равносторонний. Итак,
AK=KM=CK,
значит, треугольник AKC
— равнобедренный и прямоугольный. Следовательно,
\angle BAC=\angle KAC=45^{\circ},~\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}.