12972. Дан прямоугольник ABCD
, в котором AB=4
, BC=3
. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с A
, а три другие лежат по одной на отрезках AB
, BC
и BD
.
Ответ. \frac{16}{9}(4-\sqrt{7})
.
Решение. Пусть вершины K
, L
и M
ромба со стороной x
AKLM
лежат на отрезках AB
, BC
и BD
соответственно. Из подобия треугольников BLM
и BCD
получаем, что \frac{BL}{BC}=\frac{LM}{CD}
, откуда
BL=\frac{BC\cdot LM}{CD}=\frac{3\cdot x}{4}=\frac{3}{4}x.
По теореме Пифагора
LK^{2}=BK^{2}+BL^{2},~\mbox{или}~x^{2}=(4-x)^{2}+\frac{9}{16}x^{2},~
причём 0\lt x\lt4
. Тогда
(4-x)^{2}=\frac{7}{16}x^{2},~4-x=\frac{x\sqrt{7}}{4},~x=\frac{16}{4+\sqrt{7}}=\frac{16}{9}(4-\sqrt{7}).