12973. Дан квадрат ABCD
со стороной 1. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с A
, противоположная лежит на прямой BD
, а две оставшиеся — на прямых BC
и CD
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Решение. Пусть вершина L
, противоположная вершине A
ромба AKLM
, лежит на прямой BD
, а вершины K
и M
— на прямых BC
и CD
соответственно, O
— точка пересечения диагоналей ромба.
Из точек D
и O
отрезок AM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AM
. Аналогично, точки B
и O
лежат на окружности с диаметром AL
. Эти окружности равны, поскольку равны их диаметры (как стороны ромба). Тогда они симметричны относительно прямой, содержащей их общую хорду AO
, а так как они симметричны относительно прямой AC
, то точки M
и K
, симметричные относительно прямой AO
, симметричны и относительно прямой AC
.
Эти окружности также симметричны относительно их линии центров, поэтому точка L
, равноудалённая от M
и K
, лежит на как на прямой AC
, так и на прямой BD
, т. е. L
— центр квадрата ABCD
.
Прямые MK
и BD
параллельны, а вписанные в окружность с диаметром AM
углы DAM
и DOM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DAM=\angle DOM=\angle LDO.
Значит, прямоугольные треугольники ADM
и DLO
подобны, и
\frac{DA}{DM}=\frac{LD}{LO}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~MD=\frac{1}{2}DA=\frac{1}{2}.
Следовательно,
AM=\sqrt{DA^{2}+DM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},
т. е. сторона ромба равна \frac{\sqrt{5}}{2}
.