12975. Отрезок MN
— диаметр окружности, MN=1
, A
и B
— точки окружности, расположенные по одну сторону от прямой MN
, C
— точка на другой полуокружности. Известно, что MB=\frac{3}{5}
. Отрезок, образованный при пересечении диаметра MN
с хордами AC
и BC
, равен a
. Чему равно наибольшее значение a
?
Ответ. 7-4\sqrt{3}
.
Решение. Пусть хорды BC
и AC
пересекают диаметр MN
в точках P
и Q
соответственно, PQ=a
. Заметим, что
MB=\frac{3}{5}\lt\frac{1}{\sqrt{2}}=MA,
поэтому точка B
лежит на дуге AM
, а значит, точка P
лежит между M
и Q
. Обозначим \angle BMN=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BMN
находим, что
\cos\alpha=\frac{MB}{MN}=\frac{3}{5}~\Rightarrow\sin\alpha=\frac{4}{5},~\ctg\alpha=\frac{3}{4}.
Обозначим \frac{MC}{CN}=x
. Пусть MK
и NL
— высоты треугольников BMC
и BNC
. Тогда
\frac{MK}{NL}=\frac{MP}{NP}~\Rightarrow~\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle BNC}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot MK}{\frac{1}{2}BC\cdot NL}=\frac{MK}{NL}=\frac{MP}{NP}.
Значит,
\frac{MP}{1-MP}=\frac{MP}{NP}=\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle BNC}}=\frac{\frac{1}{2}MB\cdot MC\sin\angle BMC}{\frac{1}{2}BN\cdot CN\sin(180^{\circ}-\angle BMC)}=
=\frac{MB\cdot MC}{BN\cdot CN}=\frac{MB}{BN}\cdot\frac{BN}{CN}=x\ctg\alpha=x\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}x.
Из равенства \frac{MP}{1-MP}=\frac{3}{4}x
находим, что MP=\frac{3x}{4+3x}
.
Аналогично,
\frac{MQ}{1-MQ}=\frac{MQ}{QN}=\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ANC}}=\frac{MA\cdot MC}{AN\cdot CN}=\frac{MA}{AN}\cdot\frac{MC}{CN}=1\cdot\frac{MC}{CN}=x.
Из равенства \frac{MQ}{1-MQ}=x
находим, что MQ=\frac{x}{1+x}
.
Таким образом,
a=PQ=MQ-MP=\frac{x}{1+x}-\frac{3x}{4+3x},~\mbox{или}~3x^{2}+(7a-1)x+4a=0.
Дискриминант этого квадратного уравнения неотрицателен, т. е.
(7a-1)^{2}\geqslant48a^{2},\mbox{или}~(7a-1-4a\sqrt{3})(7a-1+4a\sqrt{3})\geqslant0.
при этом 0\lt a\lt1
, значит, первый сомножитель левой части неравенства отрицателен. Тогда
a\geqslant\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3},
причём 7-4\sqrt{3}\lt1
. Следовательно, наименьшее значение a
, для которого выполняется условие задачи, равно 7-\sqrt{3}
.