12979. Дан полукруг с диаметром AB
. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр AB
?
Ответ. 6-\pi:2\pi:6-\pi
.
Решение. Пусть K
— середина полуокружности, а L
и M
— точки на AB
, для которых меньшие части полукруга, отсекаемые от него прямыми KL
и KM
, и треугольник KLM
равновелики.
Пусть O
— середина отрезка AB
, равного 2R
. Поскольку части полукруга, расположенные вне треугольника KLM
, равновелики, то они равны (они симметричны относительно прямой KO
). Значит, треугольник KLM
равнобедренный, а так как его площадь в три раза меньше площади полукруга, т. е. \frac{1}{2}LM\cdot OK=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\pi R^{2}
, то KL=\frac{\pi R}{3}
. Следовательно, искомое отношение равно
\frac{1}{2}\left(2R-\frac{\pi R}{3}\right):\frac{\pi R}{3}:\frac{1}{2}\left(2R-\frac{\pi R}{3}\right)=\left(2-\frac{\pi}{3}\right):\frac{2\pi}{3}:\left(2-\frac{\pi}{3}\right)=6-\pi:2\pi:6-\pi.