12980. На стороне AB
треугольника ABC
взяты точки M
и N
, причём AM:MN:NB=1:2:3
. Через точки M
и N
проведены прямые, параллельные стороне AC
. Найдите площадь части треугольника, заключённой между этими прямыми.
Ответ. \frac{4}{9}S
.
Решение. Пусть проведённые прямые пересекают сторону BC
в точках M_{1}
и N_{1}
соответственно. Тогда треугольники NBN_{1}
и MBM_{1}
подобны треугольнику ABC
с коэффициентами
\frac{BN}{BA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},~\frac{BM}{BA}=\frac{5}{6}
соответственно. Следовательно (см. задачу 3008),
S_{MNN_{1}M_{1}}=S_{\triangle MBM_{1}}-S_{\triangle NBN_{1}}=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}S-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S=\left(\frac{25}{36}-\frac{1}{4}\right)S=\frac{16}{36}S=\frac{4}{9}S.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 55, с. 9