12981. В треугольнике
ABC
проведена высота
BD
,
AN
— перпендикуляр к
AB
,
CM
— перпендикуляр к
BC
, причём
AN=CD
и
CM=AD
. Докажите, что точки
M
и
N
равноудалены от вершины
B
.
Решение. Обозначим
BC=a
,
AB=c
,
\angle BAC=\alpha
,
\angle ACB=\gamma
. Тогда
CM=AD=c\cos\alpha,~AN=CD=a\cos\gamma.

По теореме синусов
\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\alpha}
, поэтому
c\sin\alpha=a\sin\gamma
. Значит,
MB^{2}=BC^{2}+CM^{2}=a^{2}+c^{2}\cos^{2}\alpha=a^{2}+c^{2}(1-\sin^{2}\alpha)=

=a^{2}+c^{2}-c^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2}+c^{2}-a^{2}\sin^{2}\gamma=

=c^{2}+a^{2}(1-\sin^{2}\gamma)=c^{2}+a^{2}\cos^{2}\gamma=AB^{2}+AN^{2}=NB^{2}.

Следовательно,
MB=NB
. Что и требовалось доказать.