12981. В треугольнике ABC
проведена высота BD
, AN
— перпендикуляр к AB
, CM
— перпендикуляр к BC
, причём AN=CD
и CM=AD
. Докажите, что точки M
и N
равноудалены от вершины B
.
Решение. Обозначим BC=a
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
CM=AD=c\cos\alpha,~AN=CD=a\cos\gamma.
По теореме синусов \frac{c}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\alpha}
, поэтому c\sin\alpha=a\sin\gamma
. Значит,
MB^{2}=BC^{2}+CM^{2}=a^{2}+c^{2}\cos^{2}\alpha=a^{2}+c^{2}(1-\sin^{2}\alpha)=
=a^{2}+c^{2}-c^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2}+c^{2}-a^{2}\sin^{2}\gamma=
=c^{2}+a^{2}(1-\sin^{2}\gamma)=c^{2}+a^{2}\cos^{2}\gamma=AB^{2}+AN^{2}=NB^{2}.
Следовательно, MB=NB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 402, с. 48