12987. Пусть ABCD
— параллелограмм. Через точки A
и B
проходит окружность радиуса R
. Другая окружность того же радиуса проходит через точки B
и C
. Пусть M
— вторая точка пересечения этих окружностей. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников AMD
и CMD
, равны R
.
Решение. Отрезок BM
— общая хорда двух равных окружностей. Эти окружности симметричны относительно середины O
отрезка BM
. При этой симметрии хорда BC
второй окружности переходит в равную и параллельную ей хорду M_{1}M
первой. Значит, BCMM_{1}
параллелограмм. Четырёхугольник ADMM_{1}
— тоже параллелограмм, так как его противоположные стороны AD
и MM_{1}
равны и параллельны. Значит, треугольник CDM
равен треугольнику BM_{1}A
по трём сторонам. Следовательно, радиус описанной окружности треугольника CMD
, равен радиусу описанной окружности треугольника BM_{1}A
, т. е. R
. Из равенства треугольников AMD
и MAM_{1}
следует, что радиус окружности, описанной около треугольника AMD
тоже равен R
.