12988. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найдите углы треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть CD
— высота прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине C
. Предположим, что AC\gt BC
. Обозначим BC=a
. Тогда
AD-BD=BC=a.
На луче DA
отложим отрезок DE=DB
. Треугольник BCE
равнобедренный с основанием BE
, так как его высота CD
является медианой. Тогда
EA=AD-DE=AD-BD=BC=a=EC.
Точка E
равноудалена от концов отрезка AC
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре l
к катету AC
, а так как l\parallel BC
, то по теореме Фалеса точка E
— середина гипотенузы AB
. Тогда
AB=2EA=2a=2BC.
Следовательно, \angle BAC=30^{\circ}
.