1299. Пусть AB
и BC
— две прилежащие стороны правильного девятиугольника, вписанного в круг с центром O
. Пусть, далее, M
— середина AB
, а N
— середина радиуса, перпендикулярного BC
. Докажите, что \angle OMN=30^{\circ}
.
Указание. Пусть D
— середина меньшей дуги BC
. Треугольник AOD
— равносторонний.
Решение. Пусть D
— середина меньшей дуги BC
. Градусная мера меньших дуг AB
и BC
равны \frac{360^{\circ}}{9}=40^{\circ}
, а градусная мера дуги ABD
равна 40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ}
. Поэтому треугольник AOD
— равносторонний, а AN
— его высота. Медиана OM
— также высота этого треугольника.
Из точек M
и N
радиус OA
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AO
. Вписанные в эту окружность углы OMN
и OAN
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle OMN=\angle OAN=\frac{1}{2}\angle OAD=30^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975. — № 359, с. 73