13001. Внутри треугольника ABC
с полупериметром p
взята точка O
. Докажите, что
AO\sin\angle BOC+BO\sin\angle AOC+CO\sin\angle AOB\leqslant p.
Решение. Отметим на лучах OB
и OC
такие точки C_{1}
и B_{1}
соответственно, что OC_{1}=OC
и OB_{1}=OB
. Пусть B_{2}
и C_{2}
— проекции точек соответственно B_{1}
и C_{1}
на прямую, перпендикулярную OA
. Тогда
BO\sin\angle AOC+CO\sin\angle AOB=OB_{1}\sin\angle AOC+OC_{1}\sin\angle AOB=B_{2}C_{2}\leqslant BC.
Аналогично,
AO\sin\angle BOC+CO\sin\angle AOB\leqslant AC,~AO\sin\angle BOC+BO\sin\angle AOC\leqslant AB.
Сложив эти три неравенства, получим
2AO\sin\angle BOC+2BO\sin\angle AOC+2CO\sin\angle AOB\leqslant2p.
Следовательно,
AO\sin\angle BOC+BO\sin\angle AOC+CO\sin\angle AOB\leqslant p.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Условие B_{1}C_{1}\perp AO
, C_{1}A_{1}\perp BO
и A{1}B_{1}\perp CO
равносильно тому, что O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
(при симметрии относительно прямой AO
луч OB_{1}
переходит в луч OC_{1}
и т. д.).