13006. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
со сторонами AB=c
, AC=b
и BC=a
пересекаются в точке M
. Известно, что середина отрезка AM
лежит на окружности девяти точек треугольника. Докажите, что 2a^{2}=b^{2}+c^{2}
.
Решение. Пусть P
середина отрезка AM
. Тогда B_{1}P
и C_{1}P
— средние линии треугольников AMC
и AMB
, поэтому B_{1}P\parallel CM
и C_{1}P\parallel BM
. Значит,
\angle B_{1}MC_{1}=\angle BMC=\angle B_{1}PC_{1}=180^{\circ}-\angle B_{1}A_{1}C_{1}=
=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\angle B_{1}AC_{1}.
Следовательно, точки A
, B_{1}
, M
, C_{1}
лежат на одной окружности.
Пусть хорды AM
и B_{1}C_{1}
этой окружности пересекаются в точке N
. Тогда N
— общая середина медианы AA_{1}=m_{a}
и средней линии B_{1}C_{1}=\frac{a}{2}
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AN\cdot NM=B_{1}N\cdot NC_{1}
, или
\frac{1}{2}m_{a}\cdot\frac{1}{6}m_{a}=\left(\frac{1}{4}a\right)^{2},\mbox{или}~a^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}m_{a}^{2}=\frac{1}{3}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}),
откуда 2a^{2}=b^{2}+c^{2}
.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — задача 13, с. 274