13021. Через произвольную фиксированную точку и каждую вершину многоугольника с нечётным числом сторон проведены прямые, разбивающие каждую из противоположных сторон многоугольника на два отрезка. Докажите, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков. (Теорема Понселе.)
Решение. Докажем это утверждение для пятиугольника ABCDE
. Пусть K
— произвольная точка, а прямые AK
, BK
, CK
, DK
и EK
пересекают стороны соответственно CD
, DE
, EA
, AB
и BC
в точках R
, M
, N
, L
и P
соответственно. Обозначим
\angle CKR=\angle NKA=\alpha,~\angle CKP=\angle NKE=\beta,~\angle BKP=\angle MKE=\gamma,
\angle BKL=\angle MKD=\delta,~\angle DKR=\angle LKA=\varphi.
Тогда
\frac{AN}{NE}=\frac{S_{\triangle NKA}}{S_{\triangle NKE}}=\frac{\frac{1}{2}KA\cdot KN\sin\alpha}{\frac{1}{2}KN\cdot KE\sin\beta}=\frac{KA\sin\alpha}{KE\sin\beta}.
Аналогично,
\frac{EM}{MD}=\frac{KE\sin\gamma}{KD\sin\delta},~\frac{DR}{RC}=\frac{KD\sin\varphi}{KC\sin\alpha},~
\frac{CP}{PB}=\frac{KC\sin\beta}{KB\sin\gamma},~\frac{BL}{LA}=\frac{KB\sin\delta}{KA\sin\varphi}.
Значит,
\frac{AN}{NE}\cdot\frac{EM}{MD}\cdot\frac{DR}{RC}\cdot\frac{CP}{PB}\cdot\frac{BL}{LA}=
=\frac{KA\sin\alpha}{KE\sin\beta}\cdot\frac{KE\sin\gamma}{KD\sin\delta}\cdot\frac{KD\sin\varphi}{KC\sin\alpha}\cdot\frac{KC\sin\beta}{KB\sin\gamma}\cdot\frac{KB\sin\delta}{KA\sin\varphi}=1.
Следовательно,
AN\cdot EM\cdot DR\cdot CP\cdot BL=NE\cdot MD\cdot RC\cdot PB\cdot LA.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для многоугольника с любым нечётным числом сторон.