13025. (Теорема Лемуана.) Из точки M
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
, опущены перпендикуляры MA_{1}
, MB_{1}
и MC_{1}
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно.
а) Докажите, что MA\cdot MA_{1}=MB\cdot MB_{1}=MC\cdot MC_{1}
.
б) Найдите это произведение, если радиус окружности равен R
, а расстояние от точки M
до прямой B_{1}C_{1}
(прямой Симсона) равно d
.
Ответ. б) 2Rd
.
Решение. а) Поскольку
\angle MBC_{1}=180^{\circ}-\angle ABM=\angle MCA=\angle MCB_{1},
прямоугольные треугольники BMC_{1}
и MCB_{1}
подобны, поэтому
\frac{MB}{MC}=\frac{MC_{1}}{MB_{1}}~\Rightarrow~MB\cdot MB_{1}=MC\cdot MC_{1}.
Аналогично, из подобия прямоугольных треугольников AB_{1}M
и BA_{1}M
получаем, что
\frac{MA}{MB}=\frac{MB_{1}}{MA_{1}}~\Rightarrow~MB\cdot MB_{1}=MA\cdot MA_{1}.
Следовательно,
MA\cdot MA_{1}=MB\cdot MB_{1}=MC\cdot MC_{1}.
б) Пусть MD=d
— перпендикуляр к прямой B_{1}C_{1}
, а
MA\cdot MA_{1}=MB\cdot MB_{1}=MC\cdot MC_{1}=k^{2}.
Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок AM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AM
. Тогда
\frac{MC_{1}}{MA}=\sin\angle MAC_{1}=\sin\angle MB_{1}C_{1}=\sin\angle MB_{1}D=\frac{MD}{MB_{1}},
откуда MC_{1}\cdot MB_{1}=MA\cdot MD
.
С другой стороны, по теореме синусов
\frac{MB}{2R}=\sin\angle BCM=\sin\angle A_{1}CM=\frac{MA_{1}}{MC},
откуда MB\cdot MC=2R\cdot MA_{1}
.
Перемножив эти два равенства произведений, получим
MB\cdot MB_{1}\cdot MC\cdot MC_{1}=MA\cdot MA_{1}\cdot2R\cdot MD,
или k^{4}=2Rk^{2}d
. Следовательно, k^{2}=2Rd
.