13028. Дан треугольник ABC
, в котором AB=AC
, а BC
— наибольшая сторона. Точка N
лежит на стороне BC
, причём BN=AB
. Прямая, проведённая через точку N
перпендикулярно AB
, пересекает AB
в точке M
. Докажите, что эта прямая делит пополам периметр и площадь треугольника ABC
.
Решение. Проведём высоту AL
треугольника ABC
. Поскольку данный треугольник равнобедренный, прямая AL
делит пополам его периметр и площадь. Прямоугольные треугольники ALB
и NMB
равны по гипотенузе и общему острому углу. Отсюда следует утверждение задачи.