13029. Найдите площадь общей части двух квадратов, если у каждого сторона равна a
и один получается из другого поворотом вокруг вершины на угол 45^{\circ}
.
Ответ. a^{2}(\sqrt{2}-1)
.
Решение. Пусть квадрат AB_{1}C_{1}D_{1}
получен из квадрата ABCD
поворотом на 45^{\circ}
вокруг вершины A
. Предположим, что отрезки C_{1}D_{1}
и BC
пересекаются в точке M
(см. рисунок). Требуется вычислить площадь четырёхугольника ABMD_{1}
.
В прямоугольном треугольнике MBC_{1}
острый угол при вершине C_{1}
равен 45^{\circ}
, поэтому
BM=BC_{1}=AC_{1}-AB=a\sqrt{2}-a=a(\sqrt{2}-1).
Прямоугольные треугольники ABM
и AD_{1}M
равны по катету и гипотенузе. Следовательно,
S_{ABMD_{1}}=2S_{\triangle ABM}=2\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BM=AB\cdot BM=a\cdot a(\sqrt{2}-1)=a^{2}(\sqrt{2}-1).