1303. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Докажите, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
остроугольный.
Указание. Если I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, то \angle BIC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Решение. Пусть точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах BC
, AC
и BC
соответственно, а I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
и докажем, что
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Отсюда будет следовать что этот угол острый.
Действительно, лучи BI
и CI
— биссектрисы углов B
и C
, поэтому
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), а так как BI\perp A_{1}C_{1}
и CI\perp A_{1}B_{1}
, то
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle BIC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\lt90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично, углы ABC
и ACB
тоже острые.