13031. Расстояние между центрами двух окружностей равно a
. Найдите сторону ромба, две противоположные вершины которого лежат на одной окружности, а две оставшиеся — на другой, если радиусы окружностей равны R
и r
.
Ответ. \sqrt{R^{2}+r^{2}-a^{2}}
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей ромба ABCD
. Центр O_{1}
окружности радиуса r
, проходящей через вершины B
и D
, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD
, т. е. на прямой AM
, а центр O_{2}
окружности радиуса R
, проходящей через вершины A
и C
, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, т. е. на прямой AM
.
По теореме Пифагора
AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}=(O_{2}A^{2}-O_{2}M^{2})+(O_{1}B^{2}-O_{1}M^{2})=
=R^{2}+r^{2}-(O_{2}M^{2}+O_{1}M^{2})=R^{2}+r^{2}-a^{2}.
Следовательно,
AB=\sqrt{R^{2}+r^{2}-a^{2}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 175, с. 22
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 175, с. 20