13036. Дан квадрат со стороной a
. Найдите радиус окружности, проходящей через середину стороны AB
, центр квадрата и вершину C
.
Ответ. \frac{a\sqrt{10}}{4}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно, O
— центр квадрата, R
— радиус окружности, описанной около треугольника MOC
. Обозначим \angle OMC=\angle NMC=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника NMC
находим, что
CM=\sqrt{CN^{2}+MN^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},~\sin\alpha=\frac{CN}{CM}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{OC}{2\sin\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.