13037. Дан квадрат со стороной a
. Найдите расстояние между серединой отрезка AM
, где M
— середина стороны BC
, и точкой N
на стороне CD
, делящей её так, что CN:ND=3:1
.
Ответ. \frac{a\sqrt{10}}{4}
.
Решение. Пусть K
и L
— середины отрезков AM
и CD
соответственно. Тогда
NL=DL-DN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}a=\frac{1}{4}a,
а так как KL
— средняя линия трапеции ADCM
, то
KL=\frac{AD+CM}{2}=\frac{a+\frac{1}{2}a}{2}=\frac{3}{4}a.
Следовательно, по теореме Пифагора
KN=\sqrt{NL^{2}+KL^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}a^{2}+\frac{9}{16}a^{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 70, с. 12
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 70, с. 11