13041. В трапеции ABCD
известно, что AB=BC=CD=a
, DA=2a
. На прямых AB
и AD
взяты точки E
и F
, отличные от вершин трапеции, так, что точка пересечения высот треугольника CEF
совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции ABCD
. Найдите площадь треугольника CEF
.
Ответ. 2a^{2}\sqrt{3}
или \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина основания AD
трапеции ABCD
. Тогда
DM=AM=\frac{1}{2}AD=a=BC,~AM\parallel BC,
поэтому ABCM
— параллелограмм. Тогда CM=AB=a=CD=AD
. Значит, треугольник CDM
равносторонний. Аналогично для треугольника ABM
. Четырёхугольник ABCM
— ромб с острым углом 60^{\circ}
. Его диагональ AC
перпендикулярна диагонали BM
, а значит, и стороне CD
ромба.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции. Тогда
OA=\frac{2}{3}AC=\frac{2a\sqrt{3}}{3},~OC=\frac{1}{3}AC=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Поскольку O
— точка пересечения высот треугольника CEF
, высота треугольника, проведённая из вершины C
, лежит на прямой AC
, значит, EF\parallel BM
, а треугольник AEF
тоже равносторонний.
Пусть K
— середина его стороны EF
. Тогда CK=x
— высота треугольника CEF
. Из равенства
\frac{CK}{EK}=\tg\angle CEK=\tg\angle CFK=\tg EOK=\frac{EK}{OK}
следует, что
CK\cdot OK=EK^{2}=\left(\frac{AK}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{1}{3}AK^{2}.
Если точка O
лежит вне треугольника CEF
, то
OK=OC+CK=\frac{a\sqrt{3}}{3}+x,~EK=\frac{AK}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(AC+CK)=\frac{1}{\sqrt{3}}(a\sqrt{3}+x).
Тогда
x\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}+x\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(a\sqrt{3}+x)\right)^{2},~\mbox{или}~2x^{2}-ax\sqrt{3}-3a^{2}=0,
откуда CK=x=a\sqrt{3}
. Тогда
EK=\frac{1}{\sqrt{3}}(a\sqrt{3}+x)=2a.
Следовательно,
S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}EF\cdot CK=EK\cdot CK=2a\cdot a\sqrt{3}=2a^{2}\sqrt{3}.
Если точка O
лежит внутри треугольника CEF
, то
OK=CK-OC=x-\frac{a\sqrt{3}}{3},~EK=\frac{AK}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(AC-CK)=\frac{1}{\sqrt{3}}(a\sqrt{3}-x).
Тогда
x\left(x-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(a\sqrt{3}-x)\right)^{2},~\mbox{или}~2x^{2}+ax\sqrt{3}-3a^{2}=0,
откуда CK=x=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Тогда
EK=\frac{1}{\sqrt{3}}(a\sqrt{3}-x)=\frac{a}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}EF\cdot CK=EK\cdot CK=\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.