13042. В треугольнике ABC
известно, что \angle B=40^{\circ}
и \angle C=85^{\circ}
. Продолжения биссектрисы BB_{1}
и высоты CC_{1}
пересекают описанную около треугольника окружность в точках M
и N
соответственно.
а) Докажите, что BM=CN
.
б) Пусть прямые MN
и BC
пересекаются в точке D
. Найдите площадь треугольника BDN
, если его высота, проведённая из вершины B
, равна 6.
Ответ. 36
.
Решение. а) По теореме о вписанных углах
\angle BMC=\angle BAC=180^{\circ}-40^{\circ}-85^{\circ}=55^{\circ},
\angle MBN=\angle MBA+\angle ABN=\angle MBA+\angle ACN=
=20^{\circ}+(90^{\circ}-55^{\circ})=55^{\circ}
Значит, \angle BMC=\angle MBN
, следовательно, BN\parallel CM
.
Вписанная в окружность трапеция BCMN
равнобокая, значит, её диагонали BM
и CN
равны. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку \angle BAC=55^{\circ}
, то
\angle ABN=\angle ACN=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-\angle55^{\circ}=35^{\circ},
а так как углы при основании равнобокой трапеции равны, то
\angle MNB=\angle NBC=\angle NBA+\angle ABC=\angle NCA+\angle ABC=
=(90^{\circ}-\angle BAC)+\angle ABC=(90^{\circ}-55^{\circ})+40^{\circ}=75^{\circ}.
Кроме того, из равенства углов при основании равнобокой трапеции следует, что треугольник BDN
равнобедренный, поэтому
\angle DBN=\angle DNB=\angle MNB=75^{\circ}.
Значит,
\angle BDN=180^{\circ}-2\angle DNB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.
Тогда
DN=BD=2BH=12.
Следовательно,
S_{\triangle BDN}=\frac{1}{2}DN\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot12\cdot6=36.