13049. В квадратном листе фанеры со стороной, равной 10 единицам длины, вырезано отверстие в форме прямоугольника, диагональ которого равна 5 единицам длины. Это отверстие по краю окантовано тонкой проволочной рамкой. Единица площади фанеры весит 2 г, а единица длины проволоки весит 7 г. Какими должны быть стороны отверстия, чтобы вес получившегося листа был наибольшим? (Единица площади есть площадь квадрата со стороной, равной единице длины.)
Ответ. 3 и 4.
Решение. Пусть x
и y
— стороны вырезанного прямоугольника. Тогда вес этого прямоугольника равен 2xy
, вес окантовки равен 7(2x+2y)=14(x+y)
, вес исходного листа фанеры равен 2\cdot100=200
, а вес получившегося листа равен
200-2xy+14(x+y).
Обозначим x+y=t
. Тогда
2xy=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})=t^{2}-25,
поэтому
200-2xy+14(x+y)=200-t^{2}+25+14t=
=-t^{2}+14t+225=-(t-7)^{2}+274.
Максимальное значение этого выражения достигается при t=7
. Таким образом, получена система
\syst{x+y=7\\x^{2}+y^{2}=25,\\}
из которой находим, что x=3
, y=4
или x=4
, y=3
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1966, № 4, вариант 6
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 4, с. 41, вариант 6