13055. Правильные пятиугольники ABCDE
и ABFKM
расположены по разные стороны от прямой AB
. Прямые AC
и BE
пересекаются в точке L
. Докажите, что \frac{LK}{DL}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}+1}{2}
.
Решение. Пусть сторона каждого пятиугольника равна 1. Углы правильного пятиугольника равны \frac{180^{\circ}(5-2)}{5}=108^{\circ}
, а углы при основаниях AC
и BE
равных равнобедренных треугольников ABC
и BAE
равны \frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}
. Тогда
\angle EAC=\angle BED=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ},
поэтому треугольник EAL
равнобедренный с углами ELA
и EAL
при основании, равными 72^{\circ}
, и боковыми сторонами EL=AE=1
. Треугольник DEL
тоже равнобедренный, EL=AE=DE=1
, а углы при основании равны \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2}=54^{\circ}
.
Пусть M
— середина стороны AB
. Тогда точки M
, L
и D
лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, а так как пятиугольники ABCDE
и ABFKM
равны, то аналогично, точки K
, M
, L
и D
лежат на одной прямой, причём KM=MD
.
Треугольники ALB
и EAB
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AB}{BE}=\frac{BL}{AB}\Rightarrow~1=AB^{2}=BL\cdot BE,~\mbox{или}~1=BL(BL+1),
откуда BL=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
.
Из прямоугольного треугольника BML
и равнобедренного треугольника DEL
находим, что
\cos36^{\circ}=\frac{BM}{BL}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4},
LM=BM\tg36^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin36^{\circ}}{\cos36^{\circ}},
DL=2EL\cos54^{\circ}=2\sin36^{\circ}.
Следовательно,
\frac{LK}{DL}=\frac{KM+LM}{DL}=\frac{DM+LM}{DL}=\frac{DM+LM+LM}{DL}=1+2\cdot\frac{LM}{DL}=
=1+\frac{\frac{\sin36^{\circ}}{\cos36^{\circ}}}{2\sin36^{\circ}}=1+\frac{1}{2\cos36^{\circ}}=1+\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}}=
=1+\frac{2}{\sqrt{5}+1}=1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.