13063. Из точки A
, расположенной вне окружности с центром O
, проведены к окружности две касательные. Длина дуги B_{1}B_{2}
между точками касания B_{1}
и B_{2}
равна a
. Найдите AO
.
Ответ. \frac{a}{(\pi\pm\alpha)\sin\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть радиус окружности равен r
. Угловая величина меньшей и большей дуг B_{1}B_{2}
окружности равны \pi-\alpha
и 2\pi-(\pi-\alpha)=\pi+\alpha
соответственно. По формуле длины дуги
a=(\pi-\alpha)r~\mbox{или}~a=(\pi+\alpha)r,
поэтому
r=\frac{a}{\pi-\alpha}~\mbox{или}~r=\frac{a}{\pi-\alpha}.
Из прямоугольного треугольника AOB
в первом случае находим, что
AO=\frac{OB_{1}}{\sin\angle OAB_{1}}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{(\pi-\alpha)\sin\frac{\alpha}{2}},
во втором —
AO=\frac{a}{(\pi+\alpha)\sin\frac{\alpha}{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1966, отделение политической экономии, № 3, вариант 1
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 54, вариант 1