13064. К прямоугольнику ABCD
приложен треугольник AO'B
, равный треугольнику AOB
, где O
— точка пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите O'C
, если AD=a
и \angle BDC=\alpha
.
Ответ. \frac{a}{2}\sqrt{9+\ctg^{2}\alpha}
.
Решение. Треугольник AO'B
равен треугольнику AOB
, а треугольник AOB
равен треугольнику COD
, поэтому треугольник AOB
равен треугольнику CO'D
. Значит,
\angle ABO'=\angle CDO=\angle CDB=\alpha.
Поэтому
\angle CBO'=\angle ABC+\angle ABO'=90^{\circ}+\alpha.
Кроме того, если H
— середина CD
, то OH=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}
, поэтому
BO'=AO'=DO=\frac{OH}{\sin\alpha}=\frac{a}{2\sin\alpha}.
Следовательно, по теореме косинусов
O'C=\sqrt{BC^{2}+BO'^{2}-2BC\cdot BO'\cos(90^{\circ}+\alpha)}=
=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\alpha}+2a\cdot\frac{a}{2\sin\alpha}\cdot\sin\alpha}=\frac{a}{2}\sqrt{8+\frac{1}{\sin^{2}\alpha}}=
=\frac{a}{2}\sqrt{8+(1+\ctg^{2}\alpha)}=\frac{a}{2}\sqrt{9+\ctg^{2}\alpha}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1966, отделение политической экономии, № 3, вариант 4
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 54, вариант 1