13068. Прямоугольные треугольники ACB
и ADB
лежат по одну сторону от их общей гипотенузы AB
. Угол CAB
равен \alpha
, угол ABD
равен \beta
, причём и \alpha
, и \beta
больше 45^{\circ}
. Найдите отношение площадей треугольников AMC
и BND
.
Ответ. \frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\beta}
.
Решение. Поскольку \angle BAD=90^{\circ}-\beta\lt45^{\circ}
, а \angle CAB=\alpha\gt45^{\circ}
, то \angle BAD\lt\angle CAB
, поэтому луч AD
лежит между сторонами угла CAB
. Аналогично, луч BC
лежит между сторонами угла ABD
.
Пусть отрезки AD
и BC
пересекаются в точке K
. Из точек C
и D
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы CAD
и CBD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAM=\angle CAD=\angle CBD=\angle DBN,
а так как MN\parallel AB
, то по теореме о пропорциональных отрезках и из подобия прямоугольных треугольников ACK
и BDK
получаем
\frac{AM}{BN}=\frac{AK}{BK}=\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cos\alpha}{AB\cos\beta}=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}.
Треугольники AMC
и BND
подобны по двум сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен \frac{AC}{BD}=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}
. Следовательно, отношение их площадей равно \left(\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\right)^{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1968, № 4, вариант 5
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 4, с. 327, вариант 5